Funktionenschar
Inhaltsverzeichnis
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Aufgabe 1 – fallende Funktion
Wenn die Steigung kleiner als Null, also \(f_{a;b}'(t)<0\) ist, so ist die Funktion fallend an jeder Stelle \(t\). Wir wissen, dass \(a>0\) und \(b>0\) ist und untersuchen \(e^{-b \cdot (t-9)}\). Dazu schauen wir uns die Verläufe der e-Funktionen an.
\(\quad\)
Ganz gleich ob im Exponenten ein positives oder negatives Vorzeichen steht, die Exponentialfunktion hat immer einen positiven Funktionswert wie oben dargestellt. Es folgt
\( \quad e^{-b \cdot (t-9)} > 0 \)
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Daraus ergibt sich
\( \quad g_{a;b}'(t) = - a \cdot b \cdot e^{-b \cdot (t-9)} < 0 \quad \text{mit} \quad a>0 \quad \text{und} \quad b>0 \)
für alle \(t\). Die Graphen der Funktionenschar sind also an jeder Stelle fallend.
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Aufgabe 2 – Linkskrümmung
Wenn der Graph der 2. Ableitung oberhalb der \(t\)-Achse verläuft, so ist \(g_{a;b}''(t)\) an jeder Stelle \(t\) positiv. Das heißt, dass die Krümmung positiv ist und somit über den ganzen Verlauf des Graphen wie hier dargestellt eine Linkskrümmung vorliegt.
Wenn wir uns den Graphen flach auf den Boden gelegt als eine Straße vorstellen, auf der wir entlang fahren, so würden wir von links nach rechts permanent eine Linkskurve fahren.
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Aufgabe 3 – Parameter a und b
Für \(\mathbf{g_{a;b}''(t)}\) muss
\( \quad \begin{align} \text{I} \; & g_{a;b}(9) = f(9) \\[6pt] \text{II} \; & g_{a;b}'(9) = f'(9) \end{align} \)
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gelten, denn an der Stelle \(t=9\) gehen beide Funktionsgraphen durch denselben Punkt und haben dort die gleiche Steigung.
Gleichung I :
\( \quad \begin{align} a \cdot b e^{b \cdot (9-9)} + 7 & = -9^4 + \frac{56}{3}\cdot 9^3 -112 \cdot 9^2 + 256 \cdot 9 + 8 \\[6pt] a \cdot e^0 + 7 & = 287 && \bigl| -7 \\[6pt] a \cdot 1 & = 280 \\[6pt] a & = 280 \end{align} \)
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Gleichung II :
\( \quad \begin{align} -a \cdot b \cdot e^{-b \cdot (9-9)} & = -4 \cdot 9^3 + 56 \cdot 9^2 - 224 \cdot 9 + 256 \\[6pt] -a \cdot b & = -140 \end{align} \)
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a eingesetzt in Gleichung II :
\( \quad \begin{align} -280 \cdot b & = -140 && \bigl| :(-280) \\[6pt] b & = \frac{1}{2} \\[6pt] b & = 0{,}5 \end{align} \)
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Wir erhalten
\( \quad g_{280;0{,}5}(t) = 280 \cdot e^{-0{,}5 \cdot (t-9)} + 7 \)
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